By Chen G.

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Algèbres de Hopf 28 type fini; dans ce cas, l’application associant à tout a E A la fonction sur Ç ( A ) : x -+ x ( a ) est injective, de sorte que les éléments de A s’identifient à des fonctions sur G(A); ces fonctions sont dites régulières ou polynomiales. 3. e. isomorphe comme algèbre à une algèbre k”), et Ç ( R ( G ) )est isomorphe à G. (ii) Si A est une algèbre de Hopf commutative, de dimension finie et semi-simple, G(A)est un groupe fini et R ( Ç ( A ) )est isomorphe à A. En bref les foncteurs contrevariants R et G établissent des antiéquivalences de catégories mutuellement réciproques entre la catégorie des groupes finis et celle des algèbres de Hopf commutatives, de dimension finie et semi-simples.

Alors (Hom(V, W ) ) ( E ) HomA(V,W). II. (a) f = p(a:) O f O 7r(S(ay)) Vu E A, f E Hom(V, W ) . (a) . f = p ( x a:s(ay)) O f = &(a). f . (a). 7) en y remplaçant a par S-'(a:) on obtient p(a) 0 f = Ep(aY)0 p(c(S-'(u));) i 0 f O 7r(s(s-l(u:));); j comme S-' est un antiendomorphisme de cogèbre, on a C ( S - l ( a : ) )8 ; (S-yu:)); j donc s-y(a:);) 8 s - l ( ( a : ) ; ) = j 3 4 . )k . ') . 8 Supposons 7r et p irréductibles. Alors { (W 8 V*)(E)= si 7r et p sont inéquivalentes O k . û siV=W, "=p. 9.

Isomorphe comme algèbre à une algèbre k”), et Ç ( R ( G ) )est isomorphe à G. (ii) Si A est une algèbre de Hopf commutative, de dimension finie et semi-simple, G(A)est un groupe fini et R ( Ç ( A ) )est isomorphe à A. En bref les foncteurs contrevariants R et G établissent des antiéquivalences de catégories mutuellement réciproques entre la catégorie des groupes finis et celle des algèbres de Hopf commutatives, de dimension finie et semi-simples. 2. 4. 1. Préliminaires On démontre (cf. 2) que les fonctions pij et pij engendrent l’algèbre Rcont (G) ; remplaçant p par p @ p, on peut donc supposer que les pij engendrent l’algèbre Rcont (G).

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